Η κυκλοειδής καμπύλη κάνει την εμφάνισή της στο μάθημα της Φυσικής Α΄ Λυκείου ως ένα από τα παραδείγματα σύνθεσης δύο κινήσεων: μιας ευθύγραμμης ομαλής και μιας ομαλής κυκλικής κίνησης. Μπορεί να αισθητοποιηθεί με την παρακολούθηση της κίνησης που διαγράφει ένα σημείο της περιφέρειας ενός τροχού που κυλάει (χωρίς να ολισθαίνει) σε ευθύ δρόμο με σταθερή ταχύτητα. Πιστεύουμε ότι είναι παιδαγωγικά ενδιαφέρον να συζητήσουμε με τους μαθητές μας δύο σημαντικές ιδιότητες της κυκλοειδούς καμπύλης: είναι "βραχύχρονη" και "ισόχρονη".  

Ποια από τις τέσσερις σφαίρες φθάνει πρώτη στο σημείο Ο;
Το 17ο αιώνα ο Γαλιλαίος έθεσε ένα πρόβλημα που αναφέρεται στην ισόχρονη κίνηση τεσσάρων μικρών σφαιρών που έχουν ως αφετηρία σημεία μιας κατακόρυφης περιφέρειας όπως στο σχήμα.

Η πρώτη σφαίρα αφήνεται να πέσει ελεύθερα κατά μήκος μιας διαμέτρου και οι άλλες τρεις αφήνονται από σημεία της περιφέρειας και κινούνται πάνω σε τρεις χορδές - κεκλιμένα επίπεδα με κοινό σημείο το Ο. Σε κάθε περίπτωση οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Με τις γνώσεις Φυσικής Α΄ Λυκείου μπορεί να αποδειχθεί ότι και οι τέσσερις μικρές σφαίρες φθάνουν ταυτόχρονα στο κατώτερο σημείο του κύκλου. Στο παρακάτω σχήμα παρατηρήστε την προσομοίωση των ισόχρονων κινήσεων αυτών των σφαιρών.

Ισόχρονες ταλαντώσεις ανεξάρτητα από αρχική θέση.
Τον ίδιο αιώνα ο Huygens  έθεσε το παρακάτω πρόβλημα:
Ποια είναι η καμπύλη πάνω στην οποία μια μικρή σφαίρα πραγματοποιεί ισόχρονες ταλαντώσεις ανεξάρτητα από την αρχική θέση;

 
Στην παραπάνω προσομοίωση οι τρεις μικρές σφαίρες αφήνονται να κινηθούν από διαφορετικά σημεία χωρίς αρχική ταχύτητα και με αμελητέες τις τριβές. Παρατηρήστε ότι και οι τρεις σφαίρες φθάνουν ταυτόχρονα στο κατώτερο σημείο της τροχιάς. Επίσης, διαπιστώστε ότι οι ταλαντώσεις είναι ισόχρονες και ανεξάρτητες από την θέση που αφήνεται η μικρή σφαίρα. Η ιδιότητα του ισόχρονου ισχύει και στο γνωστό μας εκκρεμές αλλά μόνο στη περίπτωση των ταλαντώσεων με μικρές γωνίες.
Η καμπύλη που έχει αυτή την ιδιότητα είναι η κυκλοειδής.

Ποια είναι η συντομότερη τροχιά μεταξύ των θέσεων Α και Β του πεδίου βαρύτητας;

Πρώτος ο Bernoulli έθεσε το παρακάτω πρόβλημα:
Τα σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Μια μικρή σφαίρα αφήνεται από το σημείο Α. Ποια είναι η καμπύλη πάνω στην οποία μια μικρή σφαίρα που αφήνεται από το Α φθάνει πιο γρήγορα στο σημείο Β;
Η σωστή απάντηση είναι η καμπύλη ΙΙ που δεν είναι άλλη από την κυκλοειδή καμπύλη. Εξαιτίας αυτής της ιδιότητας η κυκλοειδής καμπύλη ονομάζεται και "βραχύχρονη καμπύλη" (brachistochrone).

Εφαρμογή στο εργαστήριο. Οι μαθητές ενός Γαλλικού Λυκείου ασχολούνται με τη μελέτη των ιδιοτήτων της κυκλοειδούς καμπύλης στο εργαστήριο. 

 ΄

Αλλες χρήσιμες ιστοσελίδες μας

Η ένταξη της ιστορίας των επιστημών στη διδακτική πράξη

Πληροφορίες για την ιστοσελίδα μας από εδώ.